# Fileset

[112_TETSU-2025-086.pdf](https://mdr.nims.go.jp/filesets/7b0103d7-1e21-4cbb-b646-72a519dca0a7/download)

## Creator

[Takumi Morino](https://orcid.org/0009-0005-0134-7713), [Machiko Ode](https://orcid.org/0000-0002-9500-5466), [Yusuke Matsuoka](https://orcid.org/0000-0001-5300-1726), [Shoichi Hirosawa](https://orcid.org/0000-0002-6572-2552)

## Rights

[Creative Commons BY Attribution 4.0 International](https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)

## Other metadata

[Development of a CALPHAD-coupled Phase-field Model for Predicting Microstructure Evolution in Fe–C Steels](https://mdr.nims.go.jp/datasets/72948d46-9d66-4f83-b2bf-74a3ee121d62)

## Fulltext

© 2026 The Iron and Steel Institute of Japan. This is an open access article under the terms of the Creative Commons Attribution license (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).Abstract:  �  To predict the microstructures of steels, direct coupling of phase-field method and Calculation of Phase Diagrams (CALPHAD) databases is desirable. However, such direct coupling is challenging even for the binary Fe–C system. The first difficulty is that the local equilibrium condition becomes an implicit function, resulting in extremely high computational costs. The second difficulty is that the relationship between phase composition used in phase-field method and site fraction employed in CALPHAD meth-od is nonlinear. In this study, a phase-field model for the Fe–C system is developed by combining Direct CALPHAD Coupling (DCC) model, which explicitly solves the local equilibrium condition, with a chain-rule formulation that links phase composition to site fractions. Numerical tests for δ phase solidification and γ phase peritectic transformation demonstrated that the proposed model satisfies the local equilibrium condition with errors small enough to have no impact on the simulation results and accurately reproduces phase diagram at equilibrium condition. The developed approach provides a framework for simulating microstructure evolution directly coupled with CALPHAD databases for steels containing interstitial ele-ments such as carbon and nitrogen.Keywords: �phase field; CALPHAD; Fe–C; interstitial elements.Received November 4, 2025; Accepted January 20, 2026; Advance online published January 27, 2026; Published April 15, 2026＊ Corresponding author. E-mail: morino-takumi-rb@ynu.jp, Address: Yokohama National University, 79-5 Tokiwadai Hodogaya-ku Yokohama 240-8501SpecialIssue Science of Segregation and Defect during SolidificationRegular ArticleDevelopment of a CALPHAD-coupled  Phase-field Model for Predicting Microstructure Evolution in Fe–C SteelsTakumi Morino1)* , Machiko Ode2) , Yusuke Matsuoka2)  and Shoichi Hirosawa3)1) �Department of Mechanical Engineering, Materials Science, and Ocean Engineering, Yokohama National University2) �Structural Thermodynamics Group, Materials Evaluation Field, Research Center for Structural Materials, National Institute for Materials Science3) Department of Mechanical Engineering and Materials Science, Yokohama National UniversitySpecialIssue Science of Segregation and Defect during SolidificationRegular ArticleDevelopment of a CALPHAD-coupled  Phase-field Model for Predicting Microstructure Evolution in Fe–C SteelsTakumi Morino1)* , Machiko Ode2) , Yusuke Matsuoka2)  and Shoichi Hirosawa3)1) �Department of Mechanical Engineering, Materials Science, and Ocean Engineering, Yokohama National University2) �Structural Thermodynamics Group, Materials Evaluation Field, Research Center for Structural Materials, National Institute for Materials Science3) Department of Mechanical Engineering and Materials Science, Yokohama National University328Tetsu-to-Hagané Vol. 112 (2026), No. 6, pp. 328-335https://doi.org/10.2355/tetsutohagane.TETSU-2025-086Tetsu-to-HaganéJournal of the Iron and Steel Institute of Japanhttps://orcid.org/0009-0005-0134-7713https://orcid.org/0000-0002-9500-5466https://orcid.org/0000-0001-5300-1726https://orcid.org/0000-0002-6572-2552https://tetsutohagane.net/en/articles/special_issues/112_06https://doi.org/10.2355/tetsutohagane.TETSU-2025-086© 2026 The Iron and Steel Institute of Japan. This is an open access article under the terms of the Creative Commons Attribution license (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ja).1.  緒言鉄鋼材料は，安定した原料供給，優れた経済性およびリサイクル性を有することに加え，機械的特性を広範に制御できるため，構造材料として最も広く利用されている。強度多様性の発現は，炭素添加量の調整と熱処理によるミクロ組織制御に基づいているため，鉄―炭素系状態図の研究は19世紀末から現在に至るまで精力的に行われてきた。1970年代以降では，実験データと熱力学モデルを組み合わせて自由エネルギーを定式化するCalculation of Phase Diagrams（CALPHAD）法が発展し，膨大な熱力学データベースに基づいた，計算状態図の構築が可能となった 1,2）。しかし，状態図が示すのはあくまで平衡状態における相分率および相の組成であり，熱処理に伴う組織の時間発展を予測することはできない。材料組織の時間発展を予測するためにフェーズフィールド法では，界面や粒界の移動を，Gibbs–Thomson効果，バルク中の拡散，界面移動に伴う保存則，界面における局所平衡条件を満たしながら解く 3–7）。フェーズフィールド法の支配方程式は，組織の自由エネルギーが減少する条件から導出されている。そのため，自由エネルギーを計算するためにCALPHAD法のデータベースを活用することで実用材料の組織予測が可能となる。しかし，CALPHAD法とフェーズフィールド法を直接連携させることは，Fe–Cの二元系であっても困難である。第一の理由は，フェーズフィールド法における界面濃度の取り扱いに起因する。フェーズフィールド法では，α/β界面領域は，濃度の異なるα相とβ相の混合領域であると定義される。そして，それぞれの相濃度を求めるため，以下に示す局所平衡条件（等拡散ポテンシャル条件）が広く適用されている。    （1）ここで，fα（fβ）はα（β）相の化学自由エネルギー，cα（cβ）はα（β）相の濃度である。fα ，fβに対してCALHAD法で評価されたGibbs自由エネルギー関数を適用することで，界面溶質分配に計算状態図が反映される。ここで，CALPHAD法により与えられるGibbs自由エネルギー関数には，合金成分に対してRedlich–Kister級数を用いて表される相互作用項が含まれるため，式（1）を相濃度に関して解析的に解くことができない。そのため，相濃度の計算には収束計算が不可欠となるが，この条件式を各計算ピクセルおよび各タイムステップで解くことは膨大な回数の平衡計算を繰り返すことに相当するため，シミュレーションのボトルネックとなる。例外として，積層造形やレーザー溶接のような急速凝固過程では，局所平衡条件が破綻する 8）ため等拡散ポテンシャル条件を課す必要はなく 9–12），収束計算無しにシミュレーションが可能である。しかし，多くの実用的な凝固条件では等拡散ポテンシャル条件が必要となり，この問題は避けられない。CALPHAD法とフェーズフィールド法の直接連携が困難である第二の理由は，侵入型原子の濃度の取り扱いの違いに起因する。CALPHAD法の副格子モデルでは，侵入型原子の濃度は相全体の平均濃度ではなく，その元素が占有可能な特定の格子における占有率（副格子濃度）として2025年11月4日受付　2026年1月20日受理　2026年1月27日早期公開　2026年4月15日発行（Received November 4, 2025; Accepted January 20, 2026; Advance online published January 27, 2026; Published April 15, 2026）1） 横浜国立大学理工学府機械・材料・海洋系工学専攻（Department of Mechanical Engineering, Materials Science, and Ocean Engineering, Yokohama National University）2） 物質・材料研究機構構造材料研究センター材料評価分野組織熱力学グループ（Structural Thermodynamics Group, Materials Evaluation Field, Research Center for Structural Materials, National Institute for Materials Science）3） 横浜国立大学大学院工学研究院システムの創生部門（Department of Mechanical Engineering and Materials Science, Yokohama National University）＊  Corresponding author. E-mail: morino-takumi-rb@ynu.jp, Address: Yokohama National University, 79-5 Tokiwadai Hodogaya-ku Yokohama 240-8501論 文特集号 凝固における偏析および欠陥のサイエンス鉄鋼材料の組織予測に向けた Fe–C系CALPHAD連携フェーズフィールドモデルの構築森野　琢水 1）＊ ・大出　真知子 2） ・松岡　佑亮 2） ・廣澤　渉一 3）Development of a CALPHAD-coupled Phase-field Model for Predicting Microstructure Evolution in Fe–C SteelsTakumi Morino, Machiko Ode, Yusuke Matsuoka and Shoichi Hirosawa特集号 凝固における偏析および欠陥のサイエンス鉄鋼材料の組織予測に向けた Fe–C系CALPHAD連携フェーズフィールドモデルの構築森野　琢水 1）＊ ・大出　真知子 2） ・松岡　佑亮 2） ・廣澤　渉一 3）Development of a CALPHAD-coupled Phase-field Model for Predicting Microstructure Evolution in Fe–C SteelsTakumi Morino, Machiko Ode, Yusuke Matsuoka and Shoichi Hirosawa329鉄と鋼  Tetsu-to-Hagané Vol. 112 (2026), No. 6, pp. 328-335https://doi.org/10.2355/tetsutohagane.TETSU-2025-086https://orcid.org/0009-0005-0134-7713https://orcid.org/0000-0002-9500-5466https://orcid.org/0000-0001-5300-1726https://orcid.org/0000-0002-6572-2552https://tetsutohagane.net/articles/special_issues/112_06https://doi.org/10.2355/tetsutohagane.TETSU-2025-086定義される。一方，詳細は本文中で説明するが，フェーズフィールド法では相濃度が主変数として用いられ，副格子濃度は陽には現れない。したがって，両手法を連携させるには，副格子濃度と相濃度を適切に対応付ける必要がある。例えば，フェーズフィールド法の発展方程式では，自由エネルギーの濃度微分 が必要であるのに対して，CALPHAD法の副格子モデルで直接計算可能なのは副格子濃度yに関する微分 である。これら二つの問題を回避するために，従来のフェーズフィールド法では，状態図の線形化 13,14）や自由エネルギーの放物線近似 15,16）などが行われてきた。しかし，近似を導入するために追加の計算条件を設定する必要が生じ，モデルに任意性が生じてしまう。CALPHAD連携フェーズフィールド法で定量的に組織を予測するには，近似手法に頼らずに局所平衡条件を解きつつ，副格子濃度と相濃度の関係を厳密に組み込む必要がある。局所平衡条件を高精度かつ高速に解くためには，著者らが提案したDirect CALPHAD Coupling （DCC）モデル 17,18）が有効である。DCCモデルでは，局所平衡条件の近似手法 13–16,19–22）や収束計算を用いることなく局所平衡条件を解くことができる。その結果，フェーズフィールド法史上最多の20元系での組織予測を実現している。しかし，既報のDCCモデルでは相濃度と副格子濃度の関係が線形であると仮定している。侵入型原子を含むFe–C系では，副格子濃度と相濃度の関係は非線形となるため， と を対応付けるためには以下のように連鎖律に基づく定式化を行い， 部分を導出する必要がある。    （2）本研究では，DCCモデルと連鎖律を用いた，Fe–C系におけるCALPHAD連携フェーズフィールドモデルを構築することを目的とする。これにより，相濃度を主変数とするフェーズフィールドモデルに，副格子濃度を主変数とするCALPHAD法の自由エネルギー関数を直接適用できる。構築したFe–C系DCCモデルの妥当性はFe–C合金における液相，γ相，δ相の相変態を対象とした数値テストで検証する。平衡状態において計算状態図通りの結果が得られるか，シミュレーション中に局所平衡条件が満足されているかを確認する。従来法では，計算状態図と一致した結果が得られるかどうかは，分配係数や外挿間隔といった近似手法に伴う追加パラメータの設定に左右される。一方DCC モデルでは， CALPHAD 連携に際し任意パラメータを導入する必要がないため，計算状態図と一致する結果が自ずと得られる。本研究により，鋼材中の炭素や窒素のような侵入型原子を含むCALPHADデータベースと連携した材料組織解析が可能となる。2.  理論2・1　Fe–C系の熱力学モデルFe–C系のCALPHADデータベースでは液相のギブスエネルギーは準正則溶体モデルで構築され，FCC相とBCC相には副格子モデルが用いられる。FCC相とBCC相には侵入型原子である炭素Cが含まれるためである。Fig. 1にFe–C系におけるFCC相とBCC相の結晶構造を示す。白丸はFe原子が存在する格子点，黒丸はC原子または空孔が存在する格子点である。Fe原子と，C原子または空孔は位相が（½, ½, ½）だけ異なる2つの格子，すなわち置換格子と侵入格子をそれぞれ占有する。CALPHAD法では，このような格子の区別を副格子と呼び，FCC相の場合は(Fe)1(C, Va)1のように括弧で囲んで表記される。ここで，Vaは空孔である。BCC相の場合は，Feの置換格子とCの侵入格子の存在比率は1：3であるため，(Fe)1(C, Va)3と表される。副格子モデルでは，副格子ごとに副格子濃度が定義される。各相のCの副格子濃度をyα(α＝ γ,δ)と定義すると，相全体のC濃度cαは副格子濃度から次式で求められる。    （3）    （4）逆に，副格子濃度は相濃度から次式で求められる。    （5）    （6）液相ならびに置換原子のみを含む固溶体合金相に適用されFig. 1.  �Schematic illustration of (a) FCC and (b) BCC structure of the Fe–C system. White circles indicate Fe atoms, and black circles indicate C atoms or vacancies.330鉄と鋼　Tetsu-to-Hagané   Vol. 112 (2026), No. 6る準正則溶体モデルは，相の濃度を変数として自由エネルギーを構築するため，同じく相濃度を変数とするフェーズフィールド法との連携が比較的容易である。一方で，γ相とδ相のCALPAHDデータベースをフェーズフィールド法に直接連携させるためには，式（3）～（6）で示した副格子濃度と相濃度の関係を正確に反映させることが不可欠である。その詳細は次節で述べる。2・2　局所平衡条件を陽に解く式多相の材料組織を予測するために，マルチフェーズフィールドモデル 23,24）を用いる。マルチフェーズフィールドモデルでは，α(α＝L,γ,δ)相の局所的な相分率を位置と時間の関数ϕαで表現する。例えば，ϕα＝1はα相，0＜ϕα＜1は界面を意味し，界面ではϕL＋ϕγ＋ϕδ＝1を満たす。界面における溶質Cの濃度cは，相のC濃度cαを用いて以下のように計算する。    （7）溶媒Feの濃度は1－cで計算する。相濃度はKKSモデル 25）に基づき，以下の等拡散ポテンシャル条件を満たすように決定する。    （8）fαは化学自由エネルギーである。この等拡散ポテンシャル条件は局所平衡条件より導かれる 19）ため，等拡散ポテンシャル条件を精度よく解くことは，局所平衡条件を含む自由境界問題を定量的に解く上で重要な要素である。なお，式（8）の各辺の拡散ポテンシャルは溶媒Feの濃度を従属変数として計算するため，FeおよびCの化学ポテンシャル µαFe，µαCと以下の関係がある。    （9）式（8）の等拡散ポテンシャル条件を陽に解く式を導出する。DCCモデルにおける陰関数の陽関数化方法には，Finite interface dissipation（FID）モデル 10–12）を基盤とした方法 17）と，FIDモデルを基盤としない方法 18）がある。今回は，導出が比較的容易で多元系における数値安定性に優れる後者の方法を採用する。ただし，後者の理論では副格子濃度を主変数としているのに対し，本研究では相濃度を主変数としたうえで相濃度と副格子濃度の関係式を連鎖律に基づいて導出する。まずは，α相とβ相の微小時間Δt秒あたりの相濃度変化量をΔcα ，Δcβと定義し，その比率をkβαとする。    （10）kβαは式（10）で定義される値であり，状態図における平衡分配係数や実効分配係数などとは異なる。ここで，Δt秒後のα相とβ相の i成分の拡散ポテンシャルの差を表す，拡散ポテンシャル差関数Hを定義する。    （11）Δt秒後の等拡散ポテンシャル条件はH＝0と表現できる。式（11）をマクローリン展開することで次式を得る 18）。    （12）ここで，fα'と fα''は以下のように定義した。    （13）    （14）H＝0より，kβαに関して以下のように解ける。    （15）式（15）の分子に含まれる fα'− fβ'は，式（8）で示した等拡散ポテンシャル条件が常に成立する場合には0となる項である。 この項は，0とせずに残しておくことで等拡散ポテンシャル条件からのわずかな逸脱を補正する役割を持つ。ここで，Δt秒前後の濃度保存条件式は以下のように表現できる。    （16）式（16）に式（15）を代入すると，Δcαに関して以下のように解ける。    （17）これが等拡散ポテンシャル条件，すなわち局所平衡条件を陽に解く式である。式（17）の分子第一項と第二項はそれぞれ，等拡散ポテンシャル条件からの逸脱を補正する項と濃度保存条件を保証する項である。式（17）を計算するためには fα'と fα''，つまり ， が必要である。しかし，CALPHAD法における副格子モデルでは，化学自由エネルギーは相濃度ではなく副格子濃度の関数として定義されるため， ， と ， の関係式を導出する必要がある。 は，連鎖律により次のように展開できる。331鉄鋼材料の組織予測に向けたFe–C系CALPHAD連携フェーズフィールドモデルの構築    （18）これをcαで微分すると，    （19）式（5），式（6）より，以下の関係式が得られる。    （20）    （21）    （22）    （23）式（17）～（23）を用いることで，Fe–C系フェーズフィールドシミュレーションにおいて，局所平衡条件を陽に解くことが可能となる。2・3　�支配方程式：Gibbs–Thomson効果，バルク中の拡散，界面移動に伴う保存則を解く式マルチフェーズフィールドモデル 17,23,24）に基づき，ϕαとcの時間発展を次式にて計算する。    （24）    （25）    （26）Mαβはフェーズフィールド易動度，Wαβは放物線型二重井戸ポテンシャルの高さ，aαβは勾配エネルギー係数である。Mαβ， Wαβ，aαβは，界面易動度mαβ，界面エネルギーσαβ，数値計算上の界面幅ξαβと以下の関係がある。    （27）    （28）    （29）式（27）は Thin-interface limit26,27）を適用して導出されており，式（25）の第2項は Anti-trapping term28–31）に対応する。これらの項は，数値計算上の界面幅を物理的な界面幅よりも大きく設定した場合においても，計算結果が自由境界問題を定量的に満たすことを目的として導入されている。式（24）と式（25）を同時に解くことで，Gibbs–Thomson効果，バルク中の拡散，界面移動に伴う保存則を満たす界面の移動を計算できる。3.  数値的検証開発したモデルが等拡散ポテンシャル条件を満たしているか確認するために，Fe–C系における，液相，δ相，γ相の相変態を対象に数値テストを行った。式（24）と式（25）は有限差分法で解き，相濃度の時間変化量は式（17）で計算した。等拡散ポテンシャル条件を満たす初期界面濃度は，式（17）に対して ＝0および ＝0を代入して得られる以下の式を，繰り返し解くことで求めた。    （30）Table 1.  Numerical parameters.Properties ValueDiffusivity in liquid DL (m2/s) 1.0×10−9Diffusivity of C in solid DS (m2/s) 1.0×10−10Interface energy σ (J/m2) 0.2Molar volume Vm (m3/mol) 1.0×10−5Interface mobility m (s mol/J) ∞Strength of anisotropy in dendritic solidification simulation ε (-)0.03Grid resolution Δx (m) in 1D simulation 1×10−7Grid resolution Δx (m) in 2D simulation 2×10−7Interface thickness ξ (m) 5×10−7Discrete time width in 1D simulation Δt (s) 3.3×10−6Discrete time width in 2D simulation Δt (s) 8.0×10−6Boundary condition (-) Zero NeumannFloating-point precision Double precision332鉄と鋼　Tetsu-to-Hagané   Vol. 112 (2026), No. 6計算条件をTable 1に示す。化学自由エネルギーは，物質・材料研究機構の計算状態図データベース（CPDDB）のFe–C系のデータベース 32）を用いて計算した。3・1　液相とδ相における凝固の計算まずは，一次元計算において系全体が平衡状態にあるときに，DCCモデルによる計算結果が熱力学計算ソフトウェアPyCalphad33）の平衡計算結果と一致するかを確認した。12.8 µmの計算領域において，Fe–0.5 mol% Cの液相中にδ相の核を配置して，1800 Kにて100000ステップ（3.3×10－1秒）の計算を行った。なお，系全体が平衡状態に早く到達するように，固相内の拡散係数には液相内のものと同じ値を用いた。Table 2に，PyCalphadによる平衡計算結果とDCCモデルによる計算結果，およびPyCalphadの結果に対するDCCモデルの結果の相対誤差を示す。各相の相分率および濃度の相対誤差は10－3から10－4オーダーと十分に小さく，CALPHADデータベースを適切に連携した状態図通りの計算ができていることが確認された。続いて，二次元計算を行い局所平衡条件が満たされているか確認した。30 µm×50 µmの計算領域において，Fe–0.5 mol% Cの液相の底部にデンドライト1次枝を仮定した平滑界面のδ相を配置して，初期温度1800K，冷却速度－20 K/sにて50000ステップ（4.0×10－1秒）の計算を行った。Fig. 2に (a) 計算開始時（1800 K），(b) 0.06 s経過時（1798.8 K），(c) 0.2 s経過時（1796 K），(d) 0.4 s経過時（1792 K）におけるC濃度場を示す。計算初期では過冷度が小さいため界面は平滑に成長するが，時間の経過とともに過冷度が増大すると平滑界面が不安定化し，最終的にはセル状組織が形成された。Fig. 2の (b)–(d)に示す各組織について，界面領域（2つ以上のフェーズフィールド変数が1.0×10－10）よりも大きな値を持つピクセル）において，等拡散ポテンシャル条件の絶対誤差 を計算し，その分布をFig. 3に示した。なお，Fig. 2(a) に示す初期組織のは，式（30）を繰り返し計算したことによって限りなくゼロに近い（＜10－10）ため，Fig. 3に含めていない。Fig. 3の箱ひげ図は各データの分布を第1四分位点（Q1）から第3四分位点（Q3）までの範囲で示し，箱内の線は中央値を表す。また，ひげは最小値および最大値である。Fig. 3より，等拡散ポテンシャル条件の絶対誤差は10－2 J/molオーダーであり，この値は，文献 34）で計算される，曲率効果による拡散ポテンシャルの変化量である102 J/molオーダーと比べて無視できるほど小さかった。さらに，このシミュレーション中の100ステップに一回，全ての界面領域で等拡散ポテンシャル条件の絶対誤差 を計算し，その平均値を計算すると8.61×10－3 J/molであった。同様に絶対相対誤差 の平均値を計算するとは3.02×10－6であり，この値は数値計算における単精度浮動小数点の計算精度の10－6オーダーであった。なお，本研究の計算は全て倍精度浮動小数点で行っている。3・2　液相，δ相，γ相における包晶反応の計算液相，δ相，γ相を含めた計算においても，DCCモデルによる計算結果がPyCalphad33）の平衡計算結果と一致するかを確認した。12.8 µmの一次元の計算領域において，Fe–2.45 mol% Cの液相とFe–0.416 mol% Cのδ相の界面にTable 2.  �Comparison of equilibrium phase fractions and compositions between PyCalphad and DCC model during solidification from liquid to δ phase.Fraction of liquid, NL Phase composition of C in liquid, cLPhase composition of C in δ, cδPyCalphad 0.71221 0.65516 mol% 0.11602 mol%DCC model 0.71309 0.65454 mol% 0.11591 mol%Relative error 1.23×10−3 −9.42×10−4 −9.34×10−4Fig. 2.  �Compositional distribution of C (a) at the beginning of the simulation (1800 K), (b) after 0.06 s (1798.8 K), (c) after 0.2 s (1796 K), and (d) after 0.4 s (1792 K) in the calculation of dendrite growth of δ phase in Fe–C system. (Online version in color.)Fig. 3.  �Distribution of the absolute error in the equal diffusion potential condition, , evaluated in the interfacial regions (pixels where two or more phase-field variables exceed 1.0×10−10) for the microstructures shown in Fig. 2(b)–(d). The boxplots represent the distribution of the data: the box spans the interquartile range (Q1–Q3), the orange line inside the box indicates the median, and the whiskers denote the minimum and maximum values. (Online version in color.)333鉄鋼材料の組織予測に向けたFe–C系CALPHAD連携フェーズフィールドモデルの構築γ相の核を配置して，1763Kにて100000ステップ（3.3×10－1秒）の計算を行った。系全体の平均組成は過包晶のFe–1.44 mol% Cであり，1763 Kにおいては状態図上の液相と γ相の二相平衡領域に位置する。系全体が平衡状態に早く到達するように，固相内の拡散係数には液相内のものと同じ値を用いた。Table 3に，PyCalphadによる平衡計算結果とDCCモデルによる計算結果を示す。各相の相分率および濃度におけるPyCalphadに対するDCCモデルの相対誤差は10－4オーダーと十分に小さく，CALPHADデータベースを適切に連携した状態図通りの計算ができていることが確認された。続いて，二次元計算を行い局所平衡条件が満たされているか確認した。12.8 µm×25.6 µmの計算領域において，Fe–2.45 mol% Cの液相とFe–0.416 mol% Cのδ相の界面にγ相の核を配置して，初期温度1763 K，冷却速度－50 K/sにて50000ステップ（4.0×10－1秒）の計算を行った。系全体の平均組成は Fe–0.8 mol% Cであり，これは状態図上の包晶点に対応する組成である。Fig. 4に (a) 計算開始時（1763 K），(b) 0.04 s経過時（1761 K），(c) 0.112 s経過時（1757 K），(d) 0.4 s経過時（1743 K）におけるC濃度場を示す。計算初期は，γ相が液相とδ相の界面に沿って成長した。γ相が液相とδ相の界面を覆うと，γ/液相界面が液相側に，γ/δ相界面がδ相側に進行することで γ相分率が増加した。Fig. 4の (b)–(d)に示す各組織について，Fig. 3と同様の方法により等拡散ポテンシャル条件の絶対誤差 を計算し，その結果を箱ひげ図としてFig. 5に示した。Fig. 5より，等拡散ポテンシャル条件の絶対誤差は10－2 J/molオーダーと十分に小さかった。さらに，このシミュレーション中の100ステップに一回，全ての界面領域で等拡散ポテンシャル条件の絶対誤差 および絶対相対誤差を計算し，その平均値を計算すると，それぞれ1.32×10－2 J/mol，1.29×10－6と計算結果に影響しないほど十分に小さかった。4.  結言本研究では，Fe–C系における侵入型固溶体相を含む相変態のフェーズフィールドシミュレーションモデルを構築した。本モデルは局所平衡条件から導かれる等拡散ポテンシャル条件を陽に解くことが可能である。凝固（L→ γ）と，包晶（L＋δ→ γ）の数値テストによって得られた結果を以下にまとめる。（1） 一次元で平衡状態まで計算した場合の，本モデルによる平衡組成および相分率の計算結果は，熱力学ソフトウェアによる平衡計算結果と一致し，CALPHADデータベースを適切に連携した状態図通りの計算ができていることが確認された。（2） 二次元の計算において，各タイムステップおよび各ピクセルで算出した等拡散ポテンシャル条件の誤差は，組織形成挙動に影響を及ぼさないほど十分に小さいことが示された。本モデルは，追加の計算パラメータを設定することなくCALPHAD データベースを直接利用できるため，合金組成やプロセス条件を広範に振った計算を容易に実行できる。Table 3.  �Comparison of equilibrium phase fractions and compositions between the PyCalphad and DCC model during phase transformation from liquid + δ to γ.Fraction of liquid, NL Phase composition of C in liquid, cLPhase composition of C in γ, cγPyCalphad 0.29155 2.7262 mol% 0.91076 mol%DCC model 0.29181 2.7254 mol% 0.91042 mol%Relative error 9.02×10−4 −2.97×10−4 −3.73×10−4Fig. 4.  �Compositional distribution of C (a) at the beginning of the simulation (1763 K), (b) after 0.04 s (1761 K), (c) after 0.112 s (1757 K), and (d) after 0.4 s (1743 K) in the calculation of peritectic reaction from liquid + δ to γ phase in Fe–C system. (Online version in color.)Fig. 5.  �Distribution of the absolute error in the equal diffusion potential condition, , evaluated in the interfacial regions (pixels where two or more phase-field variables exceed 1.0×10−10) for the microstructures shown in Fig. 4(b)–(d). The boxplots represent the distribution of the data: the box spans the interquartile range (Q1–Q3), the orange line inside the box indicates the median, and the whiskers denote the minimum and maximum values. (Online version in color.)334鉄と鋼　Tetsu-to-Hagané   Vol. 112 (2026), No. 6また，収束計算を必要としないため，計算時間も短い。これらの利点により，鉄鋼材料における組織形成メカニズムの理解のみならず，実験条件の探索や補完にも有効である。今後は，本モデルの多元系合金への一般化と，規則相の計算が可能なモデル 18）との統合を進める予定である。利益相反に関する宣言本研究の遂行に関する利益相反が無いことを宣言する。謝辞本研究は，JST創発的研究支援事業 ACT-X「多元系実用材料における組織発展予測手法の確立」（JPMJAX25DK），日本学術振興会 科学研究費助成事業「フェーズフィールド法「エコ」ソフトウエアの開発と公開研究課題」（22K04794）および株式会社Niterra Materials（旧東芝マテリアル株式会社）の助成を受けて行われた。記して謝意を表する。文 献1 ) M. Enoki, S. Minamoto, I. Ohnuma, T. Abe and H. Ohtani: ISIJ Int., 63 (2023), 407. https://doi.org/10.2355/isijinternational.ISIJINT-2022 -4082 ) K. Oikawa and N. Ueshima: Tetsu-to-Hagané, 112 (2026), 336 (in Japanese). https://doi.org/10.2355/tetsutohagane.TETSU-2025-0723 ) A. Karma and W.-J. Rappel: Phys. Rev. E, 57 (1998), 4323. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.57.43234 ) M. Ohno and K. Matsuura: Phys. Rev. E, 79 (2009), 031603. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.79.0316035 ) G. Caginalp: Arch. Ration. Mech. Anal., 92 (1986), 205. https://doi.org/10.1007/BF002548276 ) W.J. Boettinger, J.A. Warren, C. Beckermann and A. Karma: Annu. Rev. Mater. Res., 32 (2002), 163. https://doi.org/10.1146/annurev.matsci.32.101901.1558037 ) I. Steinbach: Model. Simul. Mater. Sci. Eng., 17 (2009), 073001. https://doi.org/10.1088/0965-0393/17/7/0730018 ) M.J. Aziz: Metall. Mater. Trans. A, 27 (1996), 671. https://doi.org/ 10.1007/BF026489549 ) A. Mukherjee, J.A. Warren and P.W. Voorhees: Acta Mater., 251 (2023), 118897. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2023.11889710) I. Steinbach, L. Zhang, M. Plapp: Acta Mater., 60 (2012), 2689. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2012.01.03511) L. Zhang, I. Steinbach: Acta Mater., 60 (2012), 2702. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2012.02.03212) L. Zhang, M. Stratmann, Y. Du, B. Sundman and I. Steinbach: Acta Mater., 88 (2015), 156 https://doi.org/10.1016/j.actamat.2014.11.03713) M. Ode and T. Suzuki: ISIJ Int., 42 (2002), 368. https://doi.org/10.2355/isijinternational.42.36814) S. Pan, M. Zhu and M. Rettenmayr: Acta Mater., 132 (2017), 565. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2017.04.05315) C. Yang, X. Wang, J. Wang and H. Huang: Comput. Mater. Sci., 172 (2020), 109322. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2019.10932216) C. Yang, J. Wang, H. Xing and H. Huang: Mater. Today Commun., 28 (2021), 102712. https://doi.org/10.1016/j.mtcomm.2021.10271217) T. Morino, M. Ode and S. Hirosawa: Phys. Rev. E, 109 (2024), 065303. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.109.06530318) T. Morino, M. Ode and S. Hirosawa: Nat. Commun., 16 (2025), 6504. https://doi.org/10.1038/s41467-025-61246-719) J. Eiken, B. Böttger and I. Steinbach: Phys. Rev. E, 73 (2006), 066122. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.73.06612220) B. Böttger, J. Eiken and M. Apel: Comput. Mater. Sci., 108 (2015), 283. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2015.03.00321) X. Jiang, R. Zhang, C. Zhang, H. Yin and X. Qu: Calphad, 66 (2019), 101644. https://doi.org/10.1016/j.calphad.2019.10164422) L. Ren, S. Geng, P. Jiang, S. Gao and C. Han: Calphad, 78 (2022), 102450. https://doi.org/10.1016/j.calphad.2022.10245023) I. Steinbach, F. Pezzolla, B. Nestler, M. Seeßelberg, R. Prieler, G.J. Schmitz and J.L.L. Rezende: Phys. D, 94 (1996), 135. https://doi.org/10.1016/0167-2789(95)00298-724) J. Tiaden, B. Nestler, H.J. Diepers and I. Steinbach: Phys. D, 115 (1998), 73. https://doi.org/10.1016/S0167-2789(97)00226-125) S.G. Kim, W.T. Kim and T. Suzuki: Phys. Rev. E, 60 (1999), 7186. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.60.718626) A. Karma and W.-J. Rappel: Phys. Rev. Lett., 77 (1996), 4050. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.405027) A. Karma and W.-J. Rappel: Phys. Rev. E, 53 (1996), R3017. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.53.R301728) B. Echebarria, R. Folch, A. Karma and M. Plapp: Phys. Rev. E, 70 (2004), 061604. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.70.06160429) S.G. Kim: Acta Mater., 55 (2007), 4391. https://doi.org/10.1016/j.acta mat.2007.04.00430) M. Ohno and K. Matsuura: Phys. Rev. E, 79 (2009), 031603. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.79.03160331) A. Karma: Phys. Rev. Lett., 87 (2001), 115701. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.11570132) P. Gustafson: Scand. J. Metall., 14 (1985), 259.33) R. Otis and Z.-K. Liu: J. Open Res. Softw., 5 (2017), 1. https://doi.org/10.5334/jors.14034) S.G. Kim, W.T. Kim, P.-R. Cha, B.-J. Lee, J.S. Lee, J. Park and C.-S. Oh: Comput. Mater. Sci., 188 (2021), 110184. https://doi.org/10. 1016/j.commatsci.2020.110184335鉄鋼材料の組織予測に向けたFe–C系CALPHAD連携フェーズフィールドモデルの構築https://doi.org/10.2355/isijinternational.ISIJINT-2022-408https://doi.org/10.2355/isijinternational.ISIJINT-2022-408https://doi.org/10.1146/annurev.matsci.32.101901.155803https://doi.org/10.1146/annurev.matsci.32.101901.155803https://doi.org/10.1007/BF02648954https://doi.org/10.1007/BF02648954https://doi.org/10.1016/0167-2789(95)00298-7https://doi.org/10.1016/0167-2789(95)00298-7https://doi.org/10.1016/S0167-2789(97)00226-1https://doi.org/10.1016/j.actamat.2007.04.004https://doi.org/10.1016/j.actamat.2007.04.004https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.115701https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.115701https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2020.110184https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2020.110184