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[電子の非弾性平均自由行程の一般式_rev.pdf](https://mdr.nims.go.jp/filesets/19922ff2-fd3a-4303-82cc-e7de9cc82964/download)

## Creator

[田沼 繁夫](https://orcid.org/0000-0003-2628-9941), A. Jablonski, C. J.  Powell

## Rights

[Creative Commons BY-NC Attribution-NonCommercial 4.0 International](https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/)

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[電子の非弾性平均自由行程の一般式:JTP 式の開発](https://mdr.nims.go.jp/datasets/41f533ec-e349-455c-abbf-f0a7d77f6a13)

## Fulltext

電子の非弾性平均自由行程の一般式_rev 1 電⼦の⾮弾性平均⾃由⾏程の⼀般式：JTP 式の開発  A. Jablonski, ◯ S. Tanuma, C.J. Powell 1: Polish Academy of Sciences  2: NIMS   3: NIST  1. はじめに  固体中の電⼦の⾮弾性散乱に関する情報は，オージェ電⼦分光(AES)や X 線光電⼦分光(XPS)による表⾯分析から X 線吸収微細構造分析(XAFS)や，放射線物理，放射線輸送，透過電⼦顕微鏡 (TEM) による薄膜分析に⾄るまで，いろいろな分野で必要とされている。電⼦の⾮弾性散乱において，最も重要でかつ基本的なパラメータは，⾮弾性平均⾃由⾏程（Inelastic Mean Free Path, IMFP）である。表⾯分析において，IMFP は表⾯感度の良い指標であり，そのデータベースや⼀般式が必要とされる。 Tanuma らは実測したエネルギー損失関数(ELF)を⽤いて，（⾮相対論的）Penn のアルゴリズムにより，27 元素，15 有機化合物の IMFP を 50 eV から 2000 eV の半で計算した。このデータベースを基にして，IMFP の予測式，Tanuma-Powell-Penn の式 （TPP-2M）を開発した。その後，篠塚らにより，相対論効果を組み込んだ相対論的 TPP-2Mに拡張された。この式は 50 eV から 200 keV までの IMFP 計算が可能である。また，篠塚らにより，新たに計算された多くの（100 種類）元素，無機化合物，有機化合物における IMFP 対して，RMS で 50%以上の誤差を⽰すいくつかの例外的な物質を除き，TPP-2M 式はおよそ平均 RMS で 10 ％程度の IMFP 値を 50 eV から 200 keV のエネルギー範囲で与えることが⽰された。  ２．TPP-2M の有効性と限界・問題点     相対論的 TPP-2M 式は以下のように記述される。 𝜆(𝐸) = 𝛼(𝐸)𝐸𝐸p2{𝛽[ln(𝛾𝛼(𝐸)𝐸)] − (𝐶/𝐸) + (𝐷/𝐸2)}, (nm)          (1) 𝛼(𝐸) =1 + 𝐸(2𝑚𝑒𝑐2)[1 + 𝐸(𝑚𝑒𝑐2)]2 ≈ 1 + 𝐸/1021999.8(1 + 𝐸/510998.9)2  , (1a) 𝛽 = −1.0 + 9.44(𝐸p2 + 𝐸g2)0.5 + 0.69𝜌0.1   (eV−1nm−1) (2a) 𝛾 = 0.191𝜌−0.5            (eV−1) (2b) 𝐶 = 19.7 − 9.1𝑈          (nm−1) (2c)  2 𝐷 = 534 − 208𝑈             (eV nm−1) (2d) 𝑈 = 𝑁v𝜌𝑀= (𝐸p28.816)2(2e) ここで𝑁vは価電⼦数，𝜌は密度(g cm-3)，M は原⼦または分⼦量である。 TPP-2M 式から計算した IMFP と篠塚らにより計算された相対論的 FPA-BABC で 50 eV から 200 keV における IMFP 値(100 物質，80 エネルギー）と⽐較を⾏った。その結果を図１に物質 i に対応する RMSi を rank order diagram として⽰す。 ここで，RMSi は式(3)で計算される。添字optical は ELF から計算した𝜆を，λ𝑖𝑐𝑎𝑙は TPP-2M で計算した物質 i の IMFP を⽰す。90 以上の物質では RMSi < 20 %であり，TPP-2Mは⼗分に実⽤的であると⾔って良い。 ⼀⽅，図から明らかなように，６つの物質(ダイヤモンド，c-BN, LiF, グラファイト, Cs, h-BN)で 30%以上の RMSi となっている。これらの物質は TPP-2M の開発時点では考慮されなかった物質である。  図２に FPA で計算された IMFP 値を式（１）によりフィットして得られたパラメータ b, gと TPP2-M が与えるパラメータを⽐較したものを⽰す。  RM𝑆𝑖 = 100 × [∑83𝑗=1 (λ𝑖𝑐𝑎𝑙(𝐸𝑗) − λ𝑖𝑜𝑝𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙(𝐸𝑗)λ𝑖𝑜𝑝𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙(𝐸𝑗))2/83]0.5. (%)            (3)   010203040506070800.6 0.8 1 1.2 1.4RMSi (%)βTPP-2M  /βfit(F) TPP-2M EquationDiamondc-BNLiFGraphiteCsh-BNMgF2Li010203040506070800.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6RMSi (%)γTPP-2M  /γfitDiamondc-BNLiFGraphiteh-BNCs(F) TPP-2M Equation010203040506070800 20 40 60 80 100 120TPP-2M EquationRMSi (%)Rank OrderDiamondc-BNLiFGraphiteCsh-BNScBeFig.1 Rank order diagram for the values of RMSi from Eq. (3) for the 100 materials. Values of RMSi were evaluated for IMFPs from the TPP-2M equation.  Fig. 2   left: Plot of RMSi values for IMFPs from the TPP-2M equation as a function of βTPP-2M/βfit.       right: Plot of RMSi values for IMFPs from the TPP-2M equation as a function of γTPP-2M/γfit.        3  図２より，RMSi と TPP-2M 式のbの間には強い相関があることが⽰唆される。さらに，RMSi が 30%より⼤きい物質は，TPP-2M の開発には含まれていない物質である。⼀⽅，式（2b）の TPP-2M のγとγfit は RMSi とはほとんど相関がないといえる。  ３．計算に⽤いる ELF の評価 IMFP XIV で報告した LiF, Si3N4 の IMFP のエネルギー依存性を図３に⽰す。これらは２つの ELF で計算された IMFP の結果を⽰している。IMFP III で使⽤した無機化合物の ELF は f-sum と KK-sum rule の評価が悪く,TPP-2M 式の開発においては使⽤しなかった。特に LiF では IMFP のエネルギー依存性が古い ELF と新しい ELF を⽤いた場合は⼤きく異なることがわかる。Si3N4 では IMFP III における IMFP 値が，新しい ELF で計算された IMFP よりも 100 eV から 2 keV の範囲で 20%ほど⼤きくなっている。   ３．新しい IMFP の⼀般式の開発；Jablonski-Tanuma-Powell (JTP)式 篠塚らは正確な ELF を⽤いて，相対論的 FPA-BABC（バンドギャップ補正）により，50 eV から 200 keV の IMFP を 83 エネルギー,100 物質（元素，無機化合物，有機化10-1100101102103101102103104105106(A) LiF optical IMFPM. Bethe TPP-2MIMFP IIIInelastic mean free path (nm)Electron energy above bottom of conduction band (eV)10-1100101102103101102103104105106(B) Si3N4optical IMFPM. BetheTPP-2MIMFP IIIInelastic mean free path (nm)Electron energy above bottom of conduction band (eV)0.60.811.21.41.61.8102103104105(C) LiFTPP-2MIMFP IIIM. BetheRatio to optical IMFPsElectron energy above bottom of conduction band (eV)0.60.811.21.41.61.8102103104105(D) Si3N4 TPP-2MIMFP IIIM. Bethe Ratio to optical IMFPsElectron energy above bottom of conduction band (eV)Fig.3 Plots of the calculated inelastic mean free paths (solid circles) as a function of electron kinetic energy above the bottom of the conduction band for (A) LiF and (B) Si3N4. The triangles show the previously published IMFPs of Tanuma et al.(IMFP III) The solid lines show fits to the new IMFPs with the relativistic modified Bethe (M. Bethe) equation. The long-dashed lines indicate IMFPs calculated from the relativistic TPP-2M equation.  (C) and (D) Plots of ratios of IMFPs from the modified Bethe equation, from the TPP-2M equation, and from Tanuma et al.(IMFP III) to the new IMFPs as a function of electron kinetic energy for (C) LiF and (D) Si3N4.  4 合物）で計算した。この計算結果をもとに，式(1)のパラメータの最適化を⾏い，下記の式を得た。この式を Jablonski-Tanuma-Powell, JTP 式と呼ぶ。 𝜆(𝐸) = 𝛼(𝐸)𝐸𝐸p2{𝛽[ln(𝛾𝛼(𝐸)𝐸)] − (𝐶/𝐸) + (𝐷/𝐸2)}, (nm)          (4a) 𝛽 = 0.0539 + 17.0(𝐸𝑝2 + 𝐸𝑔2)0.639 − 0.252𝜌−0.463 ,         (eV−1 nm−1)     (4b) 𝛾 = 0.115 𝜌−0.253 ,                                                  (eV−1)      (4c) 𝐶 = 9.76 + 2.09 𝑈 ,                                             (nm−1)         (4d) 𝐷 = 97.5 + 223𝑈  .                                            (eV nm−1)      (4e) 図４に JTP 式と TPP-2M 式の⽐較を⽰す。      Fig. 4  Upper figure: Values of RMSi obtained from optical IMFPs  and calculated from the JTP equation to the corresponding values of RMSi with IMFPs calculated from the TPP-2M equation.  Solid circles: elemental solids; Solid squares: inorganic compounds; Solid diamonds: organic compounds.  (A, B) Ratios of IMFPs calculated from the JTP equation (A) and from the TPP-2M equation  (B) to IMFPs calculated from optical data with the relativistic full Penn algorithm and the Boutboul et al. approach for nonconductors as a function of electron energy for 41 elemental solids, 45 inorganic compounds, and 14 organic compounds. 010203040506070800 10 20 30 40 50 60 70 80Elemental solidsInorganic comoundsOrganic compoundsRMSi for JTP (%)RMSi for TPP-2M (%)diamondc-BNLiFgraphiteCsh-BN 5 これらの図から，TPP-2M では RMSi の⼤きかった diamond, c-BN, LiF, graphite, h-BNなどの値が, JTP 式では格段に⼩さくなっていることがわかる。  また，IMFP の実験値と JTP IMFP の平均 RMS 差は、IMFP の実験値と optical IMFP (FPA）の間の RMS 差と同程度であった。したがって、JTP 式から得られる IMFP は、TPP-2M ⽅程式から得られる IMFP よりも、より幅広い材料に対して有⽤であると考えられる。  ４．参考⽂献  ここでは，個々に項⽬に対する⽂献を上げるのではなく，全体の参考となり，かつ⾃由に⼊⼿できる⽂献を紹介する。  IMFP の計算等に関して，⾃由に⼊⼿できる資料を紹介する。  １）JTP 式の開発 A. Jablonski, S. Tanuma. S. J. Powell, Calculations of Electron Inelastic Mean Free Paths (IMFPs). XIV. Calculated IMFPs for LiF and Si3N4 and Development of an Improved Predictive IMFP Formula. DOI： https://doi.org/10.48505/nims.4166 出版社版（読むだけ） https://onlinelibrary.wiley.com/share/author/F2D2ZWXBZYCQH37KMRI5?target=10.1002/sia.7217   JTP, TPP-2M のパラメータの詳細はこの論⽂を参照してください。100 物質の密度，バンドギャップエネルギーなどは IMFP IX, X, XI, XII, XIII をみてください。NIMS-MDR: https://mdr.nims.go.jp/ に著者版があります。  2) Penn のアルゴリズムの解説  S. Tanuma, C. J. Powell and D. R. Penn, Calculations of Electron Inelastic Mean Free Paths for 31 Materials, Surf. Interface Anal. Volume 11, Issue 11, Pages 577 - 589 August (1988).    https://doi.org/10.48505/nims.4168   ⾮相対論的な IMFP 計算についての Penn のアルゴリズム概要が説明されている。full Penn algorithm, single pole approximation も詳しく書かれている。さらに，Bethe の式をもとにした IMFP の⼀般式 TPP 式の導出も述べられている。双極⼦⾏列の２乗和，Fano plot などの説明も詳しい。IMFP series の I の論⽂である。Penn の Phys. Rev. Bの原点よりも簡潔で分かりやすいと思う。   FPA, SPA の相対論補正を含む実際の計算⽅法は IMFP X, XI に詳しく記載されている。（ただし，Penn のオリジナルのアルゴリズムとは異なっている。）  6 IMFP X: H. Shinotsuka, S. Tanuma, C. J. Powell, and D. R. Penn, " Calculations of electron inelastic mean free paths. X. Data for 41 elemental solids over the 50 eV to 200 keV range with the relativistic full Penn algorithm".   NIMS DOI： https://doi.org/10.48505/nims.3043   IMFP XI:  H. Shinotsuka, B. Da S. Tanuma, H. Yoshikawa, C. J. Powell, and D. R. Penn, "Calculations of Electron Inelastic Mean Free Paths. XI. Data for Liquid Water for Energies from 50 eV to 30 keV". NIMS DOI：https://doi.org/10.48505/nims.1442  3）TPP-2M の開発  TPP-2M 式が元素，有機化合物の IMFP から TPP-2 式を拡張して求められている。   各パラメータの意味がよく分かる（と期待している）。 IMFP V: S. Tanuma, C. J. Powell, and D. R. Penn. " Calculations of Electron Inelastic Mean Free Paths. V. Data for 14 Organic Compounds over the 50-2000 eV Range " NIMS DOI： https://doi.org/10.48505/nims.3963     ５）その他   著者らの論⽂の⼤部分が，著者版として MDR NIMS ( https://mdr.nims.go.jp/) で公開されている。ダウンロードフリーなので，ぜひ利⽤してください。   電⼦の⾮弾性散乱に関する⼀般論（雑学？）については JSA誌の連載記事「表⾯電⼦分光法における信号の減衰は 如何に記述されるか? 」I -から V を参照してください。 VI では FPA の実際的な計算⽅法を詳細に解説する予定です。 I: 概要 II: 誘電函数と IMFP III: XPS および AES による表⾯定量分析法 IV: 単位系,平均⾃由⾏程, ⼀般化振動⼦強度 V: 誘電関数を⽤いた固体における電⼦の⾮弾性散乱断⾯積   以上